Download Đề tài Vẽ hình phụ để chứng minh đẳng thức hình học miễn phí



Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi E và F lần lượt là các
đường vuông góc hạ từ C xuống các ñường thẳng AB vàAD.
CMR: AC2 = AB. AE + AD. AF




Link Download
Tóm tắt nội dung:KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 1
PHẦN MỘT
§ÆT VÊN §Ò
Trong quá trình giảng dậy , việc hình thành và phát triển một số kĩ
năng cơ bản cần thiết cho HS là vấn ñề mà người giáo viên luôn phải duy
trì, ñồng thời phải ñưa ra ñược những giải pháp ñể hình thành và phát triển
những kĩ năng ñó. Với tôi, một trong những kĩ năng ñó là “vẽ hình phụ”.
Trong thực tế, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng khi ñứng trước bài
toán chứng minh hình học, nhất là với những bài cần phải kẻ thêm ñường.
Các em chưa ñịnh hướng ñược vấn ñề, ñôi khi còn chưa biết phải bắt ñầu
từ ñâu, vẽ hình phụ như thế nào? Có cơ sở nào giúp các em tìm ra hướng
ñi cho việc kẻ thêm hình mỗi khi chưa tìm ngay ñược lời giải của bài toán?
Thiết nghĩ ñây là vấn ñề rất trăn trở với mỗi người giáo viên dạy toán.
Không chỉ là ñịnh hướng và rèn kĩ năng cho các em,mà thực sự ñây còn là
cách ñể rèn luyện và phát triển tư duy cho HS, nâng cao khả năng suy
luận lôgic và khả năng vận dụng tri thức vào thực tiễn. Với mục ñích như
vậy, tôi ñã viết và áp dụng kinh nghiệm “ v hình ph ñ
ch ng minh
ñ ng th c hình h c”.
Phạm vi áp dụng kinh nghiệm này xin giành cho các em HS lớp 8 và 9.
Nội dung chỉ xin ñề cập ñến một kĩ năng nhỏ trong kĩ năng vẽ hình phụ
của HS , nên rất mong sự ñóng góp bổ sung ý kiến của ñồng nghiệp ñể
kinh nghiệm ñược hoàn chỉnh và ñầy ñủ hơn .
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 2
PHẦN HAI
GI¶I QUYÕT VÊN §Ò
Khi giải các bài toán hình học , việc vẽ hình phụ tạo ñiều kiện thuận
lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách
thích hợp không phải là bài toán dễ. Trong bài viết này tôi ñưa ra một cách
phân tích có chủ ý ñể tìm ñược cách vẽ thêm ñược hình phụ thích hợp khi
giải một số bài toán chứng minh ñẳng thức hình học dạng:
xy = ab + cd, x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + b2
Ta xuất phát từ một bài toán ñơn giản như sau:
“ðể chứng minh một ñoạn thẳng bằng tổng hai ñoạn thẳng khác :
AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia ñoạn AB thành hai ñoạn bởi ñiểm M
sao cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF ”
Ý tưởng trên cũng ñược sử dụng ñể chứng minh ñẳng thức
xy = ab + cd và các trường hợp riêng như sau:
Bước 1:
Chia ñoạn thẳng ñộ dài x thành hai ñoạn bởi ñiểm M sao cho
x = x1 + x2 và x1y = ab
Bước 2:
Chứng minh hệ thức x2y = cd
Bước 3:
Cộng từng vế các ñẳng thức trên ta ñược ñpcm
Sau ñây là m t s ví d minh ho" áp d ng ph$%ng pháp trên
KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 3
Vídụ 1
ð ịnh lí Pytago: Tamgiác ABC có góc A vuông .
CMR BC2 = AB2 + AC2
Phân tích : Lấy ñiểm M thuộc cạnh BC sao cho
BM.BC = AB2 ⇒=⇔
BC
AB
AB
BM
tamgiác BMA ñồng dạng với tam giác BAC nên
góc BMA bằng 900.
Suy ra M là chân ñường cao hạ từ A xuống BC
Lời giải:
Hạ AM vuông góc với BC .
Ta thấy M thuộc cạnh BC
Ta có tam giác BMA ñồng dạng với tam giác
BAC BC.BMAB
BC
AB
AB
BM 2
=⇒=⇒
Tam giác CMA ñồng dạng với tam giác CAB
BC.CMAC
BC
AC
AC
CM 2
=⇒=⇒
Ta suy ra AB2 + AC2 = BC2
M CB
A
Ví dụ 2:
Cho tứ giác ABCD có góc DAB = 900 và góc DBC = 900 .
CMR : DC2 = DI.DB + CI.CA
Phân tích:
Lấy ñiểm M thuộc cạnh CD sao cho
DM.DC = DI.DB ⇒=⇒
DC
DB
DI
DM
KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 4
tam giác DMI ñồng dạng với tam giác
DBC , do ñó góc DMI = góc DBC = 900
hay IM vuông góc với DM (DC)
Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M
Lời giải :
Kẻ IM vuông góc với DC
Ta có tam giác DBC ñồng dạng với tam
giác DMI DBDIDMDC
DI
DM
DC
DB
.. =⇒=⇒
(1)
Lại thấy tam giác ACD ñồng dạng với
tam giác MCI CICAMCDC
CI
MC
CD
AC
.. =⇒=⇒
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
DC.(DM+MC) = DI.DB + CI.CA
Hay DC2 = DI.DB + CI.CA
B
M
I
D C
A
B
M
I
D C
A
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc A.
CMR: AD2 = AB.AC – BD.CD
Phân tích :
Lấy ñiểm E trên AD sao cho
AD.AE = AB.AC ⇒=⇒
AC
AD
AE
AB tam giác ABE
ñồng dạng với tam giác ADC , do ñó góc ABE
= góc ADC.
KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 5
Như vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm E
Lời giải:
Trên AD lấy E sao cho AD góc ABE = góc
ADC . Dễ thấy AD = AE – DE Do AD là phân
giác góc A nên tam giác ABE ñồng dạng với
tam giác ADC ACABAEAD
AC
AD
AE
AB
.. =⇒=⇒ (1)
Lại thấy tam giác BDE ñồng dạng với tam giác
ADC nên CDBDDEAD
DE
DC
BD
AD
.. =⇒= (2)
Từ (1) và (2) ta có:
AD.( AE – DE ) = AB.AC – BD.CD
Hay AD2 = AB.AC – BD.CD
E
D
B
C
A
E
D
B
C
A
Ví dụ 4:
Cho hình thang cân ABCD ( AD//BC) . CMR: AB2 + AD. BC = AC2
Phân tích:
Giả sử ñiểm M thuộc cạnh AC sao cho
AB2 = AM.AC suy ra tam giác ABM ñồng
KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 6
dạng với tam giác ACB do ñó
góc ABM bằng góc ACB.
Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M
Lời giải:
Dựng góc ABM bằng góc ACB
( M thuộc AC)
Ta thấy tam giác ABM và tam giác ACB
ñồng dạng AC.AMAB
AB
AM
AC
AB 2
=⇒=⇒ (1)
Mặt khác ta thấy : góc BCM = góc CAD và
góc CBM = góc ACD. Do ñó tam giác
CBM ñồng dạng với tamgiác ACD
AC.CMBC.AD
AD
AC
CM
CB
=⇒=⇒ (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AB2 + AD. BC = AM.AC + CM.AC ,
vậy AB2 + AD.BC = AC2
A
M
D
CB
A
M
D
CB
Ví dụ 5:
Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Gọi E và F lần lượt là các
ñường vuông góc hạ từ C xuống các ñường thẳng AB và AD.
CMR: AC2 = AB. AE + AD. AF
KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 7
Phân tích:
Lấy M thuộc ñoạn AC sao cho
AM.AC = AB.AE ⇒=⇒
AC
AE
AB
AM tam Giác ABM
ñồng dạng với tam giác ACE nên BM vuông
góc với AC .
Vậy ñiểm M cần tìm là chân ñường vuông góc
hạ từ B xuống AC
Lời giải:
Gọi M là chân ñường vuông góc hạ từ B xuống
AC, ta thấy M thuộc ñoạn AC do góc A nhọn
nên AC = AM + MC
Lại thấy tam giác ABM ñồng dạng với tam giác
ACE (g.g) suy ra AM. AC = AB. AE
Và tam giác ACF ñồng dạng với CBM(g.g)
suy ra CM. AC = BC. AF.
Do BC =AD ta có :
AB. AE + AD. AF = AM. AC + CM. AC = AC2
B
M
A D F
C
E
B
M
A D F
C
E
Ví dụ 6:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O.
CMR: AC. BD = AB. CD + AD. BC
Phân tích:
Giả sử M thuộc ñoạn AC sao cho
AM.BD=AB. CD, suy ra tam giác ABM ñồng
dạng với tam giác DBC nên góc ABM bằng góc
KINH NGHIEÄM: VÏ h×nh phô ®Ó chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
eBook.here.vn - Onbai.org Tải eBook, ðề thi, Tài liệu học tập miễn phí
N¡M HäC 2007 - 2008 8
DBC . Như vậy ta xác ñịnh ñiểm M như sau
Lời giải:
Do góc ABC > góc DBC nên tồn tại ñiểm M trên
ñoạn AC sao cho góc ABM = góc CBD. Suy ra
tam giác ABM ñồng d...